最古怪的数学巨匠——埃尔德什为数学而生开创属于自己的时代

数学真理是不变的,它位于物质现实之外……这是我们的信念,这是我们的核心动力。然而,我们试图向非数学朋友描述这种信仰,就像向无神论者描述全能的上帝一样。保罗体现了这种对数学真理的信念。他巨大的才能和精力都被奉献给了数学神殿。他对他的探索的重要性和绝对性毫不怀疑。

这就是美国数学家乔尔·斯宾塞对已故传奇匈牙利数学家保罗·埃尔德什( Paul Erds)的记忆(1913-1996)。在他的一生中,埃尔德什因许多方面而闻名,尤其是他的个人怪癖,难以想象的认知能力和纯粹数学的使命。

他在第一次世界大战爆发前两年出生在奥匈帝国,他认为自己是为数学而生,在四岁之前就能心算三位数的乘法。他带着旅行箱不停地从一所大学旅行到另一所大学,一生都靠演讲费和各所大学微薄的捐款维生。他在20岁之前就证明了切比雪夫定理( Chebyshev’s theorem)。他在21岁时获得了学士学位,还获得了数学博士学位。在他83年的生涯中,他与500多名合作者发表了1500多篇学术论文,使他成为历史上最多产的数学家之一,仅次于伦纳德·欧拉(Leonard Euler)。

1913年3月26日,保罗·埃尔德什出生于奥地利匈牙利首都布达佩斯( Budapest)。他的父母都是高中数学老师,在当时的匈牙利,数学老师被要求具有数学博士学位。在他出生的前几天,他的两个姐姐分别在3岁和5岁时死于猩红热,所以他是独生子。在他的父亲在第一次世界大战期间被捕之后,他的母亲不仅是家里唯一的经济来源,而且还是他的家庭教师。

这位典型的神童很早就对数学产生了浓厚的兴趣,他自学父母留在家里的数学书籍。在他四岁的时候,他就能在脑子里计算出一个人活了多少秒。有一次,当他父母的一个朋友问他250比100小多少时,三岁的埃尔德什回答说“比0小150”,因为他已经发现了负数。作为数学老师,他的父母都鼓励埃尔德什研究数学。在他16岁的时候,他的父亲就向他介绍了无穷级数和集合论,这是他一生的痴迷。

高中时,埃尔德什会定期解KMaL(Kzépiskolai Matematikai és Fizikai Lapok)上的问题。在19世纪末和20世纪初,匈牙利学生在数学方面的成就,很大一部分归功这个数学期刊。成年后,埃尔德什随后在该期刊上发表了几篇关于初等平面几何问题的文章。1962年,组合学大师拉兹洛·洛瓦斯( László Lovász)偶然看到了埃尔德什的一篇文章,据报道,他被迷住了,读了将近20遍。也正是通过KMaL, 埃尔德什第一次见到了他长期的合作者帕尔·图兰(Pál Turan,1910-1976)和蒂博尔·加莱(Tibor Gallai)。

在第一次世界大战结束后的欧洲,匈牙利被米克洛斯·霍西(右翼保守派)统治,霍西颁布了第一部欧洲反犹法律,类似于13年后希特勒在德国引入的那些法律,包括限制犹太人进入匈牙利大学学习的人数。尽管有“法定人数原则”的规定,埃尔德什、图兰和加莱都因为在全国数学竞赛中获胜而进入了布达佩斯的罗兰大学。

埃尔德什于1930年(17岁)进入大学学习数学。1934年,他的论文《论某些算术数列中的素数》不仅获得了学士学位,还获得了博士学位。在他的论文中,他证明了若干等差数列在n到2n之间存在素数。他的证明“因其优雅而引人注目”。他的导师是费耶尔·利波特(Lipót Fejér),许多其他匈牙利天才的论文导师,包括约翰·冯·诺依曼,乔治·波利亚(George Pólya)和帕尔·图兰。

1938年3月,希特勒占领了奥地利,埃尔德什不得不取消原定的春季回国之旅,只是在夏季短暂返回,然后匆忙返回英国,然后是美国。在美国,埃尔德什接受了高等研究院为期一年1500美元的奖学金,与阿尔伯特·爱因斯坦、库尔特·哥德尔、约翰·冯·诺伊曼、奥斯卡·摩根斯特恩和尤金·维格纳等在普林斯顿大学交流。

埃尔德什是前者。他非常相信数学作为一种社会活动的实践,他的大多数论文都是与合著者一起写的。在谷歌学术上,埃尔德什的1,525篇论文被引用8万多次。

1845年,约瑟夫·贝特朗( Joseph Bertrand,1822-1900)推测,当n≥2时,在n和2n之间总有至少一个素数。贝特朗自己验证了区间2 n 3,000,000内的所有数字。这个猜想在1852年被帕夫努蒂·切比雪夫( Pafnuty Chebyshev)证明了。后来,拉马努詹在1919年用伽马函数的性质提供了一个更简单的证明。

1932年,19岁的埃尔德什发表了他的第一篇论文,用二项式系数和切比雪夫函数(x)给出了一个令人惊讶的证明。这篇题为“关于切比雪夫定理的证明”的论文发表在《数学科学学报》上。他的证明考虑了中间的二项式系数:

方程2,方程1中二项式系数的下界方程1中的二项式系数是2n+1项和中最大的项:

埃尔德什的第一部分证明了如果不存在n p≤2n的素数p,那么我们可以给二项式系数设定一个小于 4^n /(2n +1))的上限,除非n很小。

1948年7月,埃尔德什在高等研究院遇到了挪威数学家阿特尔·塞尔伯格( Atle Selberg)。在他们的短暂交流中,便得出了素数定理的一个初等证明。素数定理最初是勒让德、高斯和狄利克雷独立发现的,它指出:

方程3,当x趋于无穷时,质数计数函数π(x)将逼近函数x/ln(x)。这个定理是在1896年由雅克·阿达玛( Jacques Hadamard)和瓦莱·普桑(Vallée Poussin)用黎曼ζ函数独立证明的,塞尔伯格在1948年3月得出了渐近公式:

其中雅可比函数(x)等于质数的对数之和,它小于等于x,O(x)是用大O符号表示的x的上界。

在埃尔德什最重要的研究结果中,他对拉姆齐定理的发展所做的贡献最为突出。拉姆齐定理是数学的一个分支,研究的是“必须出现阶数的条件”。此类问题的一个典型例子是从一个数学结构开始的,然后将其切割成碎片。一个典型的问题是“为了确保至少一个部分具有给定的属性,原始结构必须有多大?”

该定理是拉姆齐理论的一个精确推论,即给定r和s,任意长度至少为(r – 1)(s – 1) + 1的独立实数数列包含长度为r的单调递增子数列或长度为s的单调递减子数列。这一结果首次出现在埃尔德什和塞凯赖什1935年的有影响力的论文《几何中的组合问题》中:

任何至少有ad + 1项的实数列要么包含a + 1项的递增子数列,要么包含d + 1项的递减子数列。

子数列是指可以在不改变数列顺序的情况下删除某些元素而派生出来的数列。例如,给定数列ABCD,其子数列为ABC、BCD、AB、BC、CD、AC、AD、BC和BD。

例子对于r = 2和s = 2,公式告诉我们任意三个数字的排列都有一个长度为3的递增的子序列或一个长度为2的递减的子序列。在数字1,2,3的六种排列中:1,2,3是一个递增的子序列1,3,2有递减的子数列:3,22,1,3有递减的子数列:2,12,3,1有两个递减的子数列:2,1和3,13,1,2有两个递减的子数列:3,1和3,23,2,1有三个递减的子数列:3,2、3,1和2,1。

在他们的论文中,埃尔德什和塞凯赖什使用归纳法证明了f(n) = (n – 1)+ 1,其中f(n)表示使f(n)的任何实数子数列必须包含长度为n的单调子数列的最小整数。斯蒂尔(Steele,1995)后来回顾了同一定理的六个不同证明,包括埃尔德什和塞凯赖什的原始证明,鸽子(洞)原理,一一对应以及由狄尔沃斯定理推导出的证明。最广泛引用的证明可能是哈默斯利的证明。鸽子原理关键思想是,将x_1,x_2,…,x_m中m = n^2+ 1个元素按照以下规则排列成一组有序的列:

让x_1为第一列的第一个元素对于i≥1,如果x_i大于或等于某一列头部的值,将x_i放在该列的首位否则以新列x_i开始哈默斯利的证明中有两点值得注意。第一种是任何列的元素都对应于一个递增的子数列。第二种情况是,只有当我们有一个元素小于它的前一个元素时,才会移动到后一列。因此,最后构造出具有k列的数字结构,我们可以从最后一个回溯到一个长度为k的单调子数列,因为有n^2+ 1个数字被放入了数字结构中,因此该数字结构要么超过n列,要么某一列的高度大于n,无论哪种情况,都必须有一个长度为n + 1的单调子数列。

1932年,埃尔德什的朋友埃斯特·克莱因(Esther Klein)首次发现:

幸福结局定理:平面上的任何五个点的集合通常都有一个由四个点组成的子集,这些点构成凸四边形的顶点。

平面上一般位置的任意五个点,确定一个具有四条边、四个角的多边形,且这些角小于180度。该定理的第一个有影响的结果之一,促使拉姆齐理论的发展。埃尔德什称这个结果为“幸福结局问题”,因为它最终导促成了塞凯赖什和克莱因的婚姻。该定理是由埃尔德什和塞凯赖什在1935年的一篇论文中证明的更一般的定理的一个特例,该定理证明了埃尔德什-塞凯赖什定理无限子数列的单调递增和递减定理,即:

埃尔德什和塞凯赖什对幸福结局定理的概括对于任何正整数n,平面上任何足够大的有限点集在一般位置上都有一个由n个点组成的子集,这些点构成凸多边形的顶点。

埃尔德什-塞凯赖什定理证明了有限数g(n)的存在,同时也猜想了g(n)是什么:

埃尔德什-塞凯赖什猜想:任何一般位置包含n个点的凸子集的最小点数m是2^(n-2)+ 1。

这个猜想的已知值是g(3), g(4), g(5), g(6)。观察g(3) = 3是很简单的,即平面上不属于直线的任意三个点形成内角小于180°的三角形。克莱因在幸福结局定理中观察到g(4) = 5。g(5) = 9最初是由Endre Makai证明的。塞凯赖什 和彼得斯证明了g(6) = 17的计算机辅助证明。他们用计算机进行搜索,排除了17个没有凸六边形的点的所有可能的构型。对于n大于 6的g(n)的值是未知的,埃尔德什-塞凯赖什仍然是开放的。

由于上面提到的成果,以及其他成千上万的成果,埃尔德什终其一生都被公认为第一流的数学家。尽管他从未获得过著名的菲尔兹奖(Fields Medal),但他因数学成就而获得过其他几项著名奖项。

1951年,他因发表了许多关于数论的论文而获得了美国数学学会的科尔奖,特别是他发表在1949年《国家科学院院刊》上的一篇关于初等数论中的一种新方法的论文,该方法给出了素数定理的初步证明。1984年,他被以色列沃尔夫基金会授予著名的沃尔夫数学奖,以表彰他对数论、组合学、概率论、集合论和数学分析的众多贡献,以及他对全世界的数学家的激励。他把奖金的大部分捐给了理工学院数学系,以他母亲安娜的名义建立了一个纪念基金。

在他生命的最后几十年里,他获得了至少15个荣誉博士学位,并成为八个国家的科学院成员,包括他的祖国匈牙利,美国,英国和以色列。

从1971年他母亲去世前后开始,埃尔德什感到抑郁,开始服药,先是抗抑郁药,然后是,剂量为每天10到20毫克。作为匈牙利首屈一指的科学家之一,他毫不费力地找到医生给他开他想要的药。大约在同一时间,他也开始增加一天的工作时间,最多达到19小时。

格拉汉姆在1979年和埃尔德什打赌500美元,说他做不到停止服用一个月。30天后,埃尔德什赢了,并宣布:

你让我知道我不是瘾君子。但是我没有做任何工作。我早上起来,盯着一张空白的纸,就像普通人一样,没有任何头绪。你让数学课停止了一个月。

在一个月的休息后,埃尔德什迅速恢复了的使用。在他生命的最后几年,由于心脏问题,他停止服用这些药片。最后他装了个心脏起搏器。

为了向他多产的职业生涯致敬,埃尔德什的合作者想出了埃尔德数,用来描述埃尔德什和另一位研究者之间的“合作距离”,以发表论文的作者数量来衡量。例如,埃尔德什自己有埃尔德数0。和埃尔德什合著一篇论文的人有埃尔德数1。与“具有埃尔德数为1的人”合著论文的人有埃尔德数2,等等。在他的一生中,他最频繁的三个合作者是安德拉斯·萨科齐(András Sárkzy,62篇),安德拉斯·哈纳尔(András Hajnal,56篇)和拉尔夫·弗德瑞(Ralph Faudree,50篇)。

卡斯珀·高夫曼(Casper Goffman)在1969年发表的一篇论文《你的埃尔德数是多少?》描述了埃尔德数。后来,埃尔德数作为研究“数学家如何合作找到未解决问题的答案”的工具而闻名。今天,有几个项目致力于研究研究人员之间的连通性,使用埃尔德数来衡量。例如,埃尔德什协作图可以告诉我们作者是如何聚集在一起的,每篇论文的合作作者数量是如何随着时间发展的,或者新理论是如何传播的。

他喜欢玩一些把戏来逗孩子们开心,喜欢开玩笑,喜欢对权威嗤之以鼻。但最重要的是,埃尔德什喜欢那些喜欢数字的人,数学家。——布鲁斯·谢克特

多年来,埃尔德什因他的个性和数学成就而声名鹊起。被他的传记作者保罗·霍夫曼形容为“世界上最古怪的数学家”。

当我考虑离开数学界去工学院当工程师时,埃尔德什说:“我会躲起来,等你一进工学院的大门,我就开枪打你”,这就解决了问题。

尽管他的生活方式是流浪,但埃尔德什是出了名的心不在焉,经常把他的护照、钱包和眼镜放错地方。他会习惯性地把自己的心不在焉归咎于“SF”(supreme fascist),这是他自己对上帝的特殊称呼。除了使用这些术语,埃尔德什被人们记住,还因为他使用了诸如“有三个衰老的迹象”这样的格言。

第一个迹象是人会忘记自己的定理。第二个迹象是他忘记拉上拉链。第三个迹象是他忘记闭嘴。

埃尔德什从7岁开始学习英语,当时他的父亲从西伯利亚回来(他在那里学习英语来度过被囚禁的时光)。由于没有英语老师,他的父亲还没有学会单词的发音,于是开始用奇怪的匈牙利口音教他的儿子英语。这种口音一直是埃尔德什一生中“最典型的特征之一”。

除了他的数学天才、不寻常的生活方式和古怪的个性之外,埃尔德什还因他的人道主义而闻名。

埃尔德什在教陶哲轩(华裔数学天才),当时陶哲轩才10岁。2006年,陶因其在“偏微分方程、组合学、调和分析和加性数论”方面的贡献而获得菲尔兹奖。从奖项和其他工作中获得的钱,埃尔德什通常捐赠给有需要的人和各种有价值的事业。他靠薪酬和会议津贴生活,剩下的钱都用来为他感兴趣的问题的证明提供现金奖励。奖金从2.5万美元到几千美元不等。在这类“埃尔德什问题”中,最有名的可能是科拉茨猜想(Collatz conjecture),埃尔德什为找到答案的人提供500美元的奖励。

在《N是一个数字,保罗·埃尔德什的肖像》一书中,罗恩·格雷厄姆讲述了一个被哈佛大学录取的年轻数学家的故事,他的父母虽然负担得起,却不同意为他支付学费。埃尔德什给了他1000美元,并说:“如果可以的话,还我钱;如果不能,请为别人做同样的事情。”

埃尔德什于1996年9月20日在波兰华沙去世,享年83岁。当他心脏病发作时,他正在参加一个会议。他的去世为世界上大多数最重要的新闻出版物所铭记,包括《芝加哥论坛报》、《》、《独立报》、《》和许多其他报纸。